Является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет за собой появление события А.

Геометрическое определение вероятности

Пусть случайное испытание можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы - это отдельные точки G, любое событие - это подмножество этой области, пространства элементарных исходов G. Можно считать, что все точки G «равноправны» и тогда вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере (длине, площади, объему) и не зависит от его расположения и формы.

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:
,
где m(G), m(A) - геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события А.

Пример. На плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной 2d, расстояние между осевыми линиями которых равно 2D, наудачу брошен круг радиуса r (). Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.

Решение. В качестве элементарного исхода этого испытания будем считать расстояние x от центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полосы. Тогда все пространство элементарных исходов - это отрезок . Пересечение круга с полосой произойдет в том случае, если его центр попадет в полосу, т.е. , или будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус, т.е. .

Для искомой вероятности получаем: .

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу практически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота А определяется формулой:

(2) где m-число появлений события, n-общее число испытаний . Сопоставляя определение вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыта.

Пример 2 . Из 80 случайно выбранных сотрудников 3 человека имеют серьезные нарушения сердечной деятельности. Относительная частота появления людей с больным сердцем

В качестве статической вероятности принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (статистическим определением вероятности). Число, к которому стремится устойчивая относительная частота, называется статистической вероятностью этого события.

Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А — попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то А + В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и B — несовместные, то А + В — событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С. Пусть события A и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие A, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В). Доказательство

С л е д с т в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (A 1 + A 2 + ... + A n) = Р (A 1) + Р (A 2) + ... + Р (A n).

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно.
Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности - вероятности попадания точки в область .
На плоскости задана квадрируемая область, т.е. область, имеющая площадь. Обозначим эту область буквой , а ее площадь . В области содержится область площади (рис. 1.1). В область наудачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области с вероятностью, пропорциональной площади этой части и не зависящей от ее формы и расположения. Пусть - попадание брошенной точки в область , тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой

. (1.5.1)

Аналогично вводится понятие геометрической вероятности при бросании точки в пространственную область G объема V G , содержащую область g объема V g:

. (1.5.2)

В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом. Обозначим меру области (длину, площадь, объем) через mes g , а меру области G - через mes G (mes - первые три буквы французского слова mesure , что значит мера); обозначим буквой А событие "попадание брошенной точки в области g, которая содержится в области G". Вероятность попадания в область g точки, брошенной в область G, определяется формулой

. (1.5.3)

Пример 1. В круг вписан квадрат (рис 1.2). В круг наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что точка попадет в квадрат?

Решение.

Введем обозначения: R - радиус круга, а - сторона вписанного квадрата, А - попадание точки в квадрат, S - площадь круга, S 1 - площадь вписанного квадрата. Как известно, площадь круга . Сторона вписанного квадрата через радиус описанной окружности выражается формулой , поэтому площадь квадрата .
Полагая в формуле (1.5.1) , , находим искомую вероятность
.

Пример 2 . В квадрат (рис. 1.3) с вершинами в точках O (0, 0), К (0, 1), L( 1, 1), М (1, 0) наудачу брошена точка Q(x, у). Найти вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству > .

Решение.

Проведем прямую , она пересечет отрезок ML в точке N( 1; 1/2). Эта прямая рассекает плоскость на две полуплоскости: для координат точек первой из них (верхней) будет вьmолняться неравенство у > х/2, для второй (нижней) - неравенство у < х/2.
Все точки, принадлежащие квадрату OКLM и координаты которых удовлетворяют неравенству у > х/2, находятся в многоугольнике OКLN . Этот многоугольник состоит из прямоугольника CKLN и треугольника OCN, его площадь S 1 =1/2 + 1/4 =3/4. Площадь S квадрата OКLM равна единице: S = 1. В соответствии с формулой (1.5.1), приняв , , найдем искомую вероятность
.

Пример 3. (Задача Бюффона). Плоскость расчерчена параллельными прямыми, расстояние между которыми равно а . На эту плоскость бросается наудачу отрезок длины l (l < а ). Какова вероятность того, что отрезок пересекается хотя бы с одной из прямых семейства?

Решение.

Расстояние от верхнего конца отрезка до ближайшей снизу прямой обозначим через (рис. 1.4). Угол между отрезком и
лучом, параллельным прямым семейства, начало которого совпадает с верхним концом отрезка, обозначим через . Очевидно, и . Для того, чтобы отрезок пересекал хотя бы одну из прямых семейства, необходимо и достаточно, чтобы или . Выражение "отрезок брошен наудачу" будем понимать так: точка (х,у) наудачу брошена на прямоугольник: , . Точки, координаты которых удовлетворяют неравенству , образуют фигуру, заштрихованную на рис 1.5.

Площадь этой фигуры .

Площадь всего прямоугольника есть . По формуле (1.5.1), приняв , , найдем искомую вероятность , где А - событие "отрезок пересекается хотя бы с одной прямой".
Пример 4. В шар вписан куб. Точка наудачу зафиксирована в шаре. Найти вероятность того, что точка попадет в куб.

Решение. Введем обозначения: событие А - "попадание точки в куб"; R - радиус шара, а - ребро куба, V - объем шара, V 1 - объем вписанного куба.
Как известно, . Поскольку и , то . В соответствии с формулой (1.5.2), приняв и , получим

Задачи

1. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 6 и 12 см соответственно. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное указанными окружностями?
2. В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная в этот круг, попадет в данный треугольник.
3. В квадрат с вершинами O( 0, 0 ), К(0, 1), L(1, 1), М(1, 0) наудачу брошена точка Q(x, у). Какова вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенстау y > 2х?
4. В шар вписана правильная треугольная пирамида. Точка наудачу зафиксирована в шаре. Найти вероятность попадания точки в пирамиду.
5. Стержень длиной l произвольным образом сломан на три части. Какова вероятность того, что из этих частей можно составить треугольник?
6. На плоскости область G ограничена эллипсом , а область - этим эллипсом и эллипсом . В область брошена точка. Какова вероятность того, что точка попадет в область ?
7. В прямоугольник с вершинами К (-2, 0), L (-2, 5), М (1, 5), N( 1, 0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты (х, у) будут удовлетворять неравенствам ?
8. В области G, ограниченной эллипсоидом , наудачу зафиксирована точка. Какова вероятность того, что координаты , , этой точки будут удовлетворять неравенству ?
9. В прямоугольник С вершинами R(-2, 0), L(-2,9), М(4, 9), N( 4, 0) брошена точка. Найти вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам .
10. Область ограничена окружностью , а область - этой окружностью и параболой . В область брошена точка. Какова вероятность, что она окажется в области ?

Другая схема описания экспериментов с неоднозначно прогнозируемыми исходами, которая позволяет довольно просто ввести количественную характеристику осуществимости того или иного события - это схема геометрических вероятностей, которая, как и рассмотренная выше схема случаев, эксплуатирует идею оравновозможности исходов эксперимента. Аналогично тому, как это было проделано в схеме случаев, количественная характеристика осуществимости события - его вероятность - определяется как нормированная некоторым образом величина, пропорциональная запасу исходов, благоприятствующих осуществлению события. Пусть множество исходов исследуемого эксперимента может быть описано как множество П точек некоторого «геометрического континуума» - каждому исходу соответствует некоторая точка и каждой точке отвечает некоторый исход. В качестве «геометрического континуума» Q может выступать отрезок на прямой, дуга спрямляемой кривой на плоскости или в пространстве, квадрируемое множество на плоскости (треугольник, прямоугольник, круг, эллипс и т.п.) или часть квадрируемой поверхности, некоторый объем в пространстве (многогранник - призма, пирамида, шар, эллипсоид и т. п.) Событием назовем любое квадрируемое подмножество множества Как и в схеме случаев, событие состоит из точек-и сходов, однако уже не любая совокупность исходов образует событие, а только такая, меру которой (длину, площадь, объем) мы можем измерить. Предполагая равновозможность исходов, назовем вероятностью события А число, пропорциональное мере подмножества А множества П: Геометрические вероятности Если 0 - событие, невозможное в данном эксперименте, a Q - достоверное, то положим Р(0) = О, = 1. Вероятность любого события А будет при этом заключена между нулем - вероятностью события невозможного, и единицей - вероятностью события достоверного4*. Условие нормировки позволяет найти константу к - коэффициент пропорциональности, задающий вероятность. Он оказывается равен Таким образом, в схеме геометрических вероятностей вероятность любого события определяется как отношение меры подмножества А, описывающего событие, к мере множества il, описывающего эксперимент в целом: Отметим некоторые свойства так определенной вероятности: Свойство очевидно следует из того обстоятельства, что множество, содержащееся внутри другого, не может быть больше последнего. Как и в схеме случаев, события в схеме геометрических вероятностей можно объединять, совмещать и строить на их основе противоположные - при этом будут получаться, вообще говоря, отличные от исходных события. Следующее свойство весьма важно. 3. Если события - несовместны, то в частности, справедлив принцип дополнительности: Это свойство, называемое обычно правилом сложения вероятностей, очевидно следует из аддитивности меры5*. В заключение отметим, что вероятность осуществления любого исхода в схеме геометрических вероятностей всегда равна нулю, равно как равна нулю вероятность любого события, описываемого «тощим» множеством точек, т.е. множеством, мера которого (соответственно - длина, площадь, объем) равна нулю. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих вычисление вероятностей в схеме геометрических вероятностей. Пример 1. Эксперимент состоит в случайном выборе точки из отрезка [а, 6|. Найти вероятность того, что выбрана точка, лежащая в левой половине рассматриваемого отрезка. 4 По определению, вероятность выбора точки из любого множества на отрезке }